分析：解法一（Ⅰ）連接OC，由已知，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接PD，CD．不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=
，AB=4．在RT△OCP中求解．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面APC的一個(gè)法向量與面ABP的一個(gè)法向量夾角求解．
解法二（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接CD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用
與平面ABC的一個(gè)法向量夾角求解．
（Ⅱ）分別求出平面APC，平面ABP的一個(gè)法向量，利用兩法向量夾角求解．
解答：解法一
（Ⅰ）連接OC，由已知，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．
設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接PD，CD．因?yàn)锳B=BC=CA，所以CD⊥AB，
因?yàn)椤螦PB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD為等邊三角形，
不妨設(shè)PA=2，則OD=1，OP=
，AB=4．
所以CD=2
，OC=
=
=
在RT△OCP中，tan∠OCP=
=
=
．
故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則
=（1，0，
），
=（2，2
，0）．
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為
=（x，y，z），則由
得出
即
，取x=-
，則y=1，z=1，所以
=（-
，1，1）．設(shè)二面角B-AP-C的平面角為β，易知β為銳角．而面ABP的一個(gè)法向量為
=（0，1，0），則cosβ=
||=
||=
．故二面角B-AP-C的大小為arccos
．
解法二：（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連接CD．因?yàn)镺在AB上，且O為P在平面ABC內(nèi)的射影，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因?yàn)锳B=BC=CA，所以CD⊥AB，設(shè)E為AC中點(diǎn)，則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．不妨設(shè)PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=
，
CD=2
，所以O(shè)（0，0，0），A（-1，0，0），C（1，2
，0），P（0，0，
），所以
=（-1，-2
，
）
=（0，0，
）為平面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)α為直線PC與平面ABC所成的角，則sinα=
||=
=
．故直線PC與平面ABC所成的角大小為arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=（1，0，
），
=（2，2
，0）．
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為
=（x，y，z），則由
得出
即
，
取x=-
，則y=1，z=1，所以
=（-
，1，1）．設(shè)二面角B-AP-C的平面角為β，易知β為銳角．
而面ABP的一個(gè)法向量為
=（0，1，0），則cosβ=
||=
||=
．
故二面角B-AP-C的大小為arccos
．
（2012•四川）如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上．
閱讀快車系列答案
（2012•四川）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是
（2012•四川）如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A（-1，0）、B（2，0）構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
（2012•四川）如圖，半徑為R的半球O的底面圓O在平面α內(nèi)，過點(diǎn)O作平面α的垂線交半球面于點(diǎn)A，過圓O的直徑CD作平面α成45°角的平面與半球面相交，所得交線上到平面α的距離最大的點(diǎn)為B，該交線上的一點(diǎn)P滿足∠BOP=60°，則A、P兩點(diǎn)間的球面距離為（ �。�
（2012•四川）如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）構(gòu)成△MAB，且直線MA、MB的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．