Question

對于數列{a_n}，定義數列{a_n+1-a_n}為{a_n}的“差數列”．
（I）若{a_n}的“差數列”是一個公差不為零的等差數列，試寫出{a_n}的一個通項公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差數列”的通項為2ⁿ，求數列{a_n}的前n項和S_n；
（III）對于（II）中的數列{a_n}，若數列{b_n}滿足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①數列{b_n}的通項公式；②當數列{b_n}前n項的積最大時n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意寫出符合題意的式子．
（2）依題意得{a_n}是公比數為2的等比數列，計算出數列{a_n}的前n項和S_n
（3）根據題意計算出數列{b_n}的通項公式，計算出數列{b_n}前n項的積為T_n，當數列{b_n}前n項的積最大時n的值．
解答：解：（Ⅰ）如a_n=n²．（答案不惟一，結果應為a_n=An²+Bn+C的形式，其中A≠0）（3分）
（Ⅱ）依題意a_n+1-a_n=2ⁿ，n=1，2，3，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2=2ⁿ．（5分）
從面{a_n}是公比數為2的等比數列，
所以（7分）
（Ⅲ）由a_nb_nb_n+1=-21•2ⁿ及a_n-1b_n-1b_n=-21•2ⁿ，兩式相除得，
所以數列{b_2n-1}，{b_2n}分別是公比為的等比數列
由b₄=-7得b₂=-14．
令n=1，由a₁b₁b₂=-21•2ⁿ得b₁=3•2⁶．
所以數列{b_n}的通項為（10分）
②記數列{b_n}前n項的積為T_n．
令，
即
所以當n是奇數時，|b₁b₂|＞1，|b₃b₄|＞1，，|b₁₁b₁₂|＞1，|b₁₃b₁₄|＜1，|b₁₅b₁₆|＜1，
從而|T₂|＜|T₄|＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞．
當n是偶數時，|b₂b₃|＞1，|b₄b₅|＞1，，|b₁₂b₁₃|＞1，|b₁₄b₁₅|＜1，|b₁₆b₁₇|＜1，
從而|T₁|＜|T₃|＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|．
注意到T₁₂＞0，T₁₃＞0，且T₁₃=b₁₃T₁₂=3T₁₂＞T₁₂，
所以當數列{b_n}前n項的積T_n最大時n=13．（14分）
點評：此題主要考查數列通項公式的求解及前n項積的求解．