Question

在△ABC中，AB=2

5

，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求cosA的值；
（2）求cos(2A+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由AB，以及sinC=2sinA，利用正弦定理求出BC的長(zhǎng)，再利用余弦定理表示出cosA，將三邊長(zhǎng)代入即可求出值；
（2）由A為三角形內(nèi)角，以及cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，進(jìn)而求出sin2A與cos2A的值，所求式子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：（1）在△ABC中，AB=2

5

，sinC=2sinA，
根據(jù)正弦定理：

AB

sinC

=

BC

sinA

，
∴BC=

ABsinA

sinC

=

1

2

AB=

5

，
根據(jù)余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

2 5

5

；
（2）∵A∈（0，π），cosA=

2 5

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=cos²A-sin²A=

3

5

，
則cos（2A+

π

4

）=

2

2

（cos2A-sin2A）=-

2

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．