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如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 證明: A1C⊥平面BB1D1D;

(Ⅱ) 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.

 

【答案】

(Ⅰ) 見解析(Ⅱ) 所求夾角的大小為

【解析】如圖建立空間直角坐標系,

可知

(Ⅰ), ,

,即,且

所以

(Ⅱ)容易求得平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,所求夾角余弦值為.所求夾角的大小為.

本題考查空間直線與平面的位置關系和二面角問題,考查空間想象能力和推理論證能力、對公式的熟練準確運用.此類問題的易錯點是未能合理的建立空間直角坐標系,找好線面的垂直關系.空間向量的解決對法向量求解不準確,二面角的銳角和鈍角判斷不準會導致結果錯誤.

【考點定位】本題考查空間直線現(xiàn)平面的位置關系和二面角問題,考查空間想象能力和推理論證能力.

 

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V,點P、Q分別在側棱AA1和CC1上,AP=C1Q,則四棱錐B-APQC的體積為(  )
A、
V
2
B、
V
3
C、
V
4
D、
V
5

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形,且AA1⊥底面ABCD,AB=2,AA1=BC=4,∠ABC=60°,點E為BC中點,點F為B1C1中點.
(Ⅰ)求證:平面A1ED⊥平面A1AEF;
(Ⅱ)求三棱錐E-A1FD的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖:三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=3,側棱AA1⊥底面ABC,D為C1B的中點,P為AB邊上的動點.
(1)若P為AB中點,求證:PD∥平面ACC1A1
(2)若DP⊥AB,求四棱錐P-ACC1A1的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E為BC的中點,AA1⊥平面ABCD.
(Ⅰ)證明:平面A1AE⊥平面A1DE;
(Ⅱ)若DE=A1E,試求異面直線AE與A1D所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角C-A1D-E的余弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•江門一模)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E為BC的中點,AA1⊥平面ABCD.
(1)證明:平面A1AE⊥平面A1DE;
(2)若DE=A1E,試求異面直線AE與A1D所成角的余弦值.

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