Question

經市場調查分析，某旅游城市在上月內（以30天計算），第t天旅游人數S（萬人）與時間t滿足：S-4與t成反比，且上月第20天旅游人數為4.05萬人，又第t天旅游人均消費M（元）與時間t的關系如圖所示．
（I）求該城市上月的旅游日收益y（萬元）與時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數關系式；
（II）求y的最小值；
（Ⅲ）問該城市上月內哪幾天旅游日收益不低于481萬元？
（注：旅游日收益=日旅游人數×日旅游人均消費）

Answer 1

分析：（I）由題意可設S-4=

k

t

，將t=20，S=4.05代入，求出k，根據圖象求出M，從而根據旅游日收益=日旅游人數×日旅游人均消費求出旅游日收益；
（II）當1≤t≤20，t∈N時利用基本不等式進行求最值，當21≤t≤30，t∈N時，利用導數研究函數的最值即可；
（III）根據分段函數的意義可在每一段上建立不等式，解出符合條件的t，問題即可得解．

解答：解：（I）由題意可設S-4=

k

t

，
將t=20，S=4.05代入，得k=1，所以S=

1

t

+4．（2分）
由圖象可得M=

100+t  (1≤t≤20，t∈N) 140-t  (21≤t≤30，t∈N).

（4分）
所以旅游日收益y=

(100+t)( 1 t +4)  (1≤t≤20，t∈N) (140-t)( 1 t +4)  (21≤t≤30，t∈N).

=

100 t +4t+401  (1≤t≤20，t∈N) 140 t -4t+559  (21≤t≤30，t∈N).

（II）當1≤t≤20，t∈N時，y=

100

t

+4t+401≥2

100 t •4t

+401=441
當且僅當

100

t

=4t，即t=5時取到等號．（8分）
當21≤t≤30，t∈N時，因為y′=-

140

t2

-4＜0，
所以y=

140

t

-4t+559在21≤t≤30，t∈N是單調遞減，
所以當t=30時，ymin=443

2

3

．（10分）
綜上可知，上月在第5天旅游日收益的最小值為441元．（11分）
（Ⅲ）當1≤t≤20，t∈N時，由

100

t

+4t+401≥481，得t²-20t+25≥0，
解得t≥10+5

3

或t≤10-5

3

，所以t=19，20，1．（13分）
當21≤t≤30，t∈N時，由

140

t

-4t+559≥481，得2t²-39t-70≤0，
解得

39-4 130

4

≤t≤

39+4 130

4

，所以t=21．（15分）
綜上可知，該城市上月第1、19、20、21四個旅游日收益不低于481萬元．（16分）

點評：本題主要考查學生根據實際情況選擇函數類型的能力，以及基本不等式在求函數最值中的應用能力．