Question

經市場調查：生產某產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本為W（x）萬元，在年產量不足8萬件時，（萬元），在年產量不小于8萬件時，（萬元）．通過市場分析，每件產品售價為5元時，生產的商品能當年全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式；
（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）
（2）年產量為多少萬件時，在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）因為每件產品售價為5元，則x（萬件）商品銷售收入為5x萬元，依題意得：
當0＜x＜8時，L（x）=5x-（ x²+x）-3=-x²+4x-3，
當x≥8時，L（x）=5x-（6x+-38）-3=35-（x+），
∴L（x）=．
（2）當0＜x＜8時，L（x）=-（x-6）²+9，此時，當x=6時，L（x）取得最大值9；
當x≥8時，L（x）=35-（x+）≤35-2 =15，
此時，當x=即x=10時，L（x）取得最大值15；
∵9＜15，
∴年產量為10萬件時，這一商品的生產中所獲利潤最大，最大利潤是15萬元．
分析：（1）根據年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當x≥8兩種情況得到L與x的分段函數關系式；
（2）當0＜x＜8時根據二次函數求最大值的方法來求L的最大值，當x≥8時，利用基本不等式來求L的最大值，最后綜合即可．
點評：考查學生根據實際問題選擇合適的函數類型的能力，以及運用基本不等式求最值的能力．