Question

如圖，現在要在一塊半徑為1m．圓心角為60°的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在AB弧上，點Q在OA上，點M，N在OB上，設∠BOP=θ．平行四邊形MNPQ的面積為S．
（1）求S關于θ的函數關系式；
（2）求S的最大值及相應θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題設條件合理建立方程，從而導出S關于θ的函數關系式．
（2）利用三角函數求出S的最大值及相應θ的值．
解答：解：①分別過點P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分別為D、E，則四邊形QEDP是矩形．
PD=sinθ，OD=cosθ．
在Rt△OEQ中，∠AOB=，
則OE=QE=PD．
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-sinθ．
則S=MN×PD=（cosθ-sinθ）×sinθ=sinθcosθ-sin²θ，θ∈（0，）．
（2）S=sin2θ-（1-cos2θ）=sin2θ+cos2θ-=sin（2θ+）-．
因為0＜θ＜，所以＜2θ+＜，
所以＜sin（2θ+）≤1．所以當2θ+=，即θ=時，S的值最大為m²．
即S的最大值是m²，相應θ的值是．
點評：挖掘題設條件，合理運用三角函數是正確解題的關鍵．