Question

(本小題滿分14分)

設(shè)a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．

（Ⅱ）當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

【解析】解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，

故，

于是，

列表如下：

		2
		0
		極小值

故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．

（Ⅱ）證明：由知，的極小值．

于是由上表知，對(duì)一切，恒有．

從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．

所以當(dāng)時(shí)，，即．

故當(dāng)時(shí)，恒有．