Question

（本小題滿分12分）
已知函數
（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點P（1，f(1)）處的切線與直線y=x+2垂直，求函數y=f(x)的單調區間；
（Ⅱ）若對于任意成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）記g(x)=f(x)+x-b(b∈R).當a=1時，函數g(x)在區間上有兩個零點，求實數b的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）直線y=x+2的斜率為1， 函數f(x)的定義域為  
因為，所以，所以a=1
所以
由解得x>2 ; 由解得0<x<2
所以f(x)得單調增區間是，單調減區間是 ………………………4分
（Ⅱ）
由解得由解得
所以f(x)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減
所以當時，函數f(x)取得最小值
因為對于任意成立，
所以即可
則，由解得
所以a得取值范圍是     …………………………… 8分
（Ⅲ）依題意得，則
由解得x>1，由解得0<x<1
所以函數g(x)在區間上有兩個零點，
所以     解得
所以b得取值范圍是    ………………………………  12分

略