Question

若f（x）滿足任意x，y（x，y≠0）都有f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，求不等式f（x-1）＜0；
（3）f（x）是定義在R上的函數，判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,奇偶性與單調性的綜合

專題：規律型,函數的性質及應用

分析：（1）賦值法，令x=y=1即可求的，（2）將不等式f（x-1）＜0轉化為f（x-1）＜f（1），然后利用函數單調性去函數符號求解，（3）令x=1，y=-1．可得f（-1）=0，然后令y=-1可求出函數奇偶性．

解答： 解：（1）由題意，令x=y=1得f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）由（1）得f（1）=0，
則不等式f（x-1）＜0即為f（x-1）＜f（1），
又由題意f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
所以有x-1＜1，解得x＜2；
（3）f（x）是定義在R上的函數，關于y軸對稱，
令x=1，y=-1．可得f（-1）=0．
令y=-1可得f（-x）=f（x）-f（-1）=f（x），
所以f（x）為偶函數．

點評：本題考查抽象函數的性質，利用賦值法求解即可．