Question

已知函數f（x）=e^x-ax-1，（a∈R）．
（1）當a=2時，求f（x）的單調區間與最值；
（2）若f（x）在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，由導數的正負，可得函數的單調區間，從而可求函數的最值；
（2）f（x）在R上單調遞增，則f'（x）=e^x-a≥0恒成立，分離參數，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=e^x-2x-1，∴f'（x）=e^x-2．…（2分）
令f'（x）＞0，即e^x-2＞0，解得：x＞ln2；
令f'（x）＜0，即e^x-2＜0，解得：x＜ln2；            …（4分）
∴f（x）在x=ln2時取得極小值，亦為最小值，即f（ln2）=1-2ln2．  …（5分）
∴當a=2時，函數f（x）的單調增區間是（ln2，+∞），遞減區間為（-∞，ln2）f（x）的最小值為：1-2ln2…（7分）
（2）∵f（x）=e^x-ax-1，∴f'（x）=e^x-a．
∵f（x）在R上單調遞增，∴f'（x）=e^x-a≥0恒成立，
即a≤e^x，x∈R恒成立．
∵x∈R時，e^x∈（0，+∞），∴a≤0．
即a的取值范圍為（-∞，0]．                  …（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．