Question

已知菱形ABDC的邊長為2，對角線AC與BD交于點O，且∠ABC=120°，M為BC的中點．將此菱形沿對角線BD折成直二面角A-BD-C．
（I）求證：AC⊥BD；
（II）求直線AM與面AOC所成角的余弦值大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據AO⊥BD，CO⊥BD，得到BD⊥平面AOC；即可得到AC⊥BD；
（II）作MK⊥OC，連接AK結合MK∥BD以及上面的過程可以得到MK⊥面AOC；進而得到∠AOK是直線AM與面AOC所成的角；然后通過求三角形的邊長即可得到結論．
解答：（I）證明：因為是菱形ABCD，
所以：⇒⇒BD⊥AC．…（7分）
（II）解：作MK⊥OC，連接AK，
由MK∥BD，BD⊥面AOC，得到MK⊥面AOC
所以∠AOK是直線AM與面AOC所成的角…（9分）
∵AB=2，BD=2，∴AO=CO=，OK=
在△AOK中，AK²=AO²+OK²=，∴AK=…（11分）
在RT△AKM中，∵AK=，MK=BO=，
∴AM=2，cos∠MAK==
∴直線AM與面AOC所成角的余弦值是…（14分）
點評：本題主要考察直線與平面所成的角以及線線垂直的證明問題．解決線面所成角問題的關鍵在于把角做出來，通常做線面角的方法是做面的垂線，進而得到線的射影．