Question

已知菱形ABDC的邊長為2，對角線AC與BD交于點O，且∠ABC=120°，M為BC的中點．將此菱形沿對角線BD折成直二面角A-BD-C．
（I）求證：AC⊥BD；
（II）求直線AM與面AOC所成角的余弦值大小．

Answer 1

分析：（I）先根據AO⊥BD，CO⊥BD，得到BD⊥平面AOC；即可得到AC⊥BD；
（II）作MK⊥OC，連接AK結合MK∥BD以及上面的過程可以得到MK⊥面AOC；進而得到∠AOK是直線AM與面AOC所成的角；然后通過求三角形的邊長即可得到結論．

解答：（I）證明：因為是菱形ABCD，
所以：

AO⊥BD CO⊥BD AO∩CO=O

⇒

BD⊥平面AOC AC⊆平面AOC

⇒BD⊥AC．…（7分）
（II）解：作MK⊥OC，連接AK，
由MK∥BD，BD⊥面AOC，得到MK⊥面AOC
所以∠AOK是直線AM與面AOC所成的角…（9分）
∵AB=2，BD=2，∴AO=CO=

3

，OK=

3

2

在△AOK中，AK²=AO²+OK²=

15

4

，∴AK=

15

2

…（11分）
在RT△AKM中，∵AK=

15

2

，MK=

1

2

BO=

1

2

，
∴AM=2，cos∠MAK=

AK

MA

=

15

4

∴直線AM與面AOC所成角的余弦值是

15

4

…（14分）

點評：本題主要考察直線與平面所成的角以及線線垂直的證明問題．解決線面所成角問題的關鍵在于把角做出來，通常做線面角的方法是做面的垂線，進而得到線的射影．