Question

已知f（x）是定義域為R的偶函數，滿足f（x+2）=f（x），如果f（x）在[1，2]上增函數，則下列命題正確的是（ ）
A．f（x）在[0，1]上是增函數
B．f（x）的圖象關于直線x=1對稱
C．
D．f（1）不是函數f（x）的最小值

Answer 1

【答案】分析：由題設條件可以得出，函數是一個偶函數，也是一個周期函數，又知其在[1，2]上增函數，考查四個選項，分別研究函數的單調性，對稱性及最值，比較大小等，故可以先對函數的性質作綜合研究，由于函數具有周期性，故可以先研究一個周期上的性質，再推理出整個定義域上的性質，然后再對四個選項的正誤作出判斷
解答：解：由題意f（x）是定義域為R的偶函數，f（x）在[1，2]上增函數
∴f（x）在[-2，-1]上是減函數，
又f（x+2）=f（x），
∴函數是一個周期是2的周期函數
故可得出f（x）在[0，1]上是減函數，f（x）在[-1，0]上是增函數，再由函數是偶函數，得f（x）在[0，1]上的圖象與函數在[-1，0]上圖象關于Y軸對稱，故函數在[0，2]上的圖象也關于直線x=1對稱，再由周期性知，每一個x=n，n∈Z，這樣的直線都是函數的對稱軸
考察四個選項，B選項是正確的
故選B
點評：本題考查函數的周期性，奇偶性，單調性，是一個綜合性較強的題，解題的關鍵是綜合利用所給的性質對函數圖象的特征作出判斷，本題考查了推理判斷的能力，數形結合的思想