Question

某電視臺擬舉行“團隊共享”沖關比賽，其規則如下：比賽共設有“常識關”和“創新關”兩關，每個團隊共兩人，每人各沖一關，“常識關”中有2道不同必答題，“創新關”中有3道不同必答題；如果“常識關”中的2道題都答對，則沖“常識關”成功且該團隊獲得單項獎勵900元，否則無獎勵；如果“創新關”中的3道題至少有2道題答對，則沖“創新關”成功且該團隊獲得單項獎勵1800元，否則無獎勵，現某團隊中甲沖擊“常識關”，乙沖擊“創新關”，已知甲回答“常識關”中每道題正確的概率都為

2

3

，乙回答“創新關”中每道題正確的概率都為

1

2

，且兩關之間互不影響，每道題回答正確與否相互獨立．
（I）求此沖關團隊在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎勵的概率；
（Ⅱ）求此沖關團隊在這5道必答題中只有3道回答正確且獲得1800元獎金的概率．

Answer 1

分析：（I）記“此沖關團隊在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎勵”為事件E，事件E發生即“常識關”和“創新關”兩關中都恰有一道題答正確．
（Ⅱ）記“此沖關團隊在這5道必答題中只有3道回答正確且獲得1800元獎金”為事件F，“‘常識關’中2道題都答錯，且‘創新關’中3道題都答正確”為事件M；“‘常識關’中2道題一對一錯，且‘創新關’中3道題恰有2道正確”為事件N，事件M與N為互斥事件．

解答：解：（I）記“此沖關團隊在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎勵”為事件E，事件E發生即“常識關”和“創新關”兩關中都恰有一道題答正確．
p(E)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

6

．（6分）
（Ⅱ）記“此沖關團隊在這5道必答題中只有3道回答正確且獲得1800元獎金”為事件F，“‘常識關’中2道題都答錯，且‘創新關’中3道題都答正確”為事件M；“‘常識關’中2道題一對一錯，且‘創新關’中3道題恰有2道正確”為事件N，事件M與N為互斥事件．
p(M)=(

2

3

)2×(

1

2

)3=

1

18

；（8分）
p（N）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

1

6

；（10分）
∴p(F)=p(M)+p(N)=

1

18

+

1

6

=

2

9

．（12分）

點評：本題考查n次獨立重復試驗恰好發生k次的概率，解題時要認真審題，仔細解答，注意互斥事件概率的應用．