Question

已知圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；③圓心到直線l：x-2y=0的距離為

5

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．求該圓的方程．

Answer 1

分析：設出圓P的圓心坐標，由圓被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，得到圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，根據垂徑定理得到圓截x軸的弦長，找出r與b的關系式，又根據圓與y軸的弦長為2，利用垂徑定理得到r與a的關系式，兩個關系式聯立得到a與b的關系式；然后利用點到直線的距離公式求出P到直線x-2y=0的距離，讓其等于

5

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，得到a與b的關系式，將兩個a與b的關系式聯立即可求出a與b的值，得到圓心P的坐標，然后利用a與b的值求出圓的半徑r，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．

解答：解：設圓P的圓心為P（a，b），半徑為r，
則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．
由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，
知圓P截x軸所得的弦長為

2

r．故r²=2b²
又圓P被y軸所截得的弦長為2，所以有r²=a²+1．從而得2b²-a²=1；
又因為P（a，b）到直線x-2y=0的距離為

5

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，所以d=

|a-2b|

5

=

5

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，即有a-2b=±1，
由此有

2b2-a2=1 a-2b=1

或

2b2-a2=1 a-2b=-1

解方程組得

a=-1 b=-1

或

a=1 b=1

，于是r²=2b²=2，
所求圓的方程是：（x+1）²+（y+1）²=2，或（x-1）²+（y-1）²=2．

點評：本小題主要考查軌跡的思想，考查綜合運用知識建立曲線方程的能力，是一道中檔題．