Question

已知函數，，圖象與軸異于原點的交點M處的切線為，與軸的交點N處的切線為， 并且與平行.
（1）求的值；
（2）已知實數t∈R，求的取值范圍及函數的最小值；
（3）令，給定，對于兩個大于1的正數，存在實數滿足：，，并且使得不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）2    （2） （3）

試題分析：
（1）根據題意求出f(x)，g(x-1)與x軸交點的坐標，利用切線平行，即導函數在交點處的導函數值相等，即可求出f(x)中參數a的值，進而得到f(2).
（2）可以利用求定義域，求導，求單調性與極值 對比極值與端點值得到的取值范圍.進而直接用u替代中的，把問題轉化為求解在區間上的最小值，即為一個含參二次函數的最值.則利用二次函數的單調性，即分對稱軸在區間的左邊，中，右邊三種情況進行討論得到函數的最小值.
（3）對F(x)求導求并確定導函數的符號得到函數F(x)的單調性，有了F(x)的單調性，則要得到不等式，我們只需要討論m的范圍確定的大小關系，再根據單調性得到的大小關系，判斷其是否符合不等式，進而得到m的取值范圍.
試題解析：
（1） 圖象與軸異于原點的交點，  1分
圖象與軸的交點，   2分
由題意可得， 即     ，     3分
∴，                       4分
（2）= 5分
令，在 時，，
∴在單調遞增，               6分
圖象的對稱軸，拋物線開口向上
①當即時，          7分
②當即時，  8分
③當即時，
  9分
,
所以在區間上單調遞增 
∴時，         10分
①當時，有，
，
得，同理，　
∴ 由的單調性知   、
從而有，符合題設.   11分
②當時，，
，
由的單調性知 ，
∴，與題設不符  12分
③當時，同理可得，
得，與題設不符.    13分
∴綜合①、②、③得           14分