Question

設m、t為實數，函數，f（x）的圖象在點M（0，f（0））處的切線的斜率為1．
（1）求實數m的值；
（2）若對于任意x∈[﹣1，2]，總存在t，使得不等式f（x）≤2t成立，求實數t的取值范圍；設方程x²+2tx﹣1=0的兩個實數根為a，b（a＜b），若對于任意x∈[a，b]，總存在x₁、x₂∈[a，b]，使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，記g（t）=f（x₂）﹣f（x₁），當時，求實數t的值．

Answer 1

解：（1）∵
∴f '（x）=
∵函數，f（x）的圖象在點M（0，f（0））處的切線的斜率為1
∴f '（0）=1
∴m=1
（2）由（1）知f（x）=
∵對于任意x∈[﹣1，2]，總存在t，使得不等式f（x）≤2t成立
∴對于任意x∈[﹣1，2]，總存在t，使得不等式t≥成立
即t≥
令s（x）=則s '（x）=
∴當s'（x）≥0時﹣≤x≤
當s'（x）≤0時x≤﹣或x≥而x∈[﹣1，2]
故﹣1≤x≤﹣或≤x≤2
∴s（x）在[﹣1，﹣]單調遞減，在（﹣，）單調遞增，在[，2]單調遞減
∵s（﹣）=﹣，s（2）=
∴s（x）_min=﹣
∴t≥﹣
又由韋達定理可得a+b=﹣2t，ab=﹣1，b﹣a=2
若對于任意x∈[a，b]，總存在x₁，x₂∈[a，b]使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，說明x₁，x₂分別是區間[a，b]f（x）的最小最大值點．
由（1）可得，f'（x）=，
注意h（x）=x²+2tx﹣1，不難發現函數f（x）在區間[a，b]f '（x）≥0，f（x）遞增，
則x₁=a，x₂=b
則g（t）=f（x₂）﹣f（x₁）=f（b）﹣f（a）
              ==
∵a+b=﹣2t，ab=﹣1，b﹣a=2
∴g（t）=
∵
∴t=±2