Question

設m、n為正整數，且m≠2，二次函數y=x²+（3-mt）x-3mt的圖象與x軸的兩個交點間的距離為的d₁，二次函數y=-x²+（2t-n）x+2nt的圖象與x軸的兩個交點間的距離為d₂，如果d₁≥d₂對一切實數t恒成立，求m、n的值．

Answer 1

分析：設二次函數y=x²+（3-mt）x-3m的圖象與x軸的兩個交點分別為（x₁，0），（x₂，0），二次函數y=-x²+（2t-n）x+2nt的圖象與x軸的兩個交點分別為（x₃，0），（x₄，0），則d₁=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(mt-3)2+12mt

，d2=|x3-x4|  =

(x3+x4)2-4x3x4

=

(n-2t)2+8nt

．由d₁≥d₂對一切實數t恒成立，知（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0對一切實數t恒成立，由此能求出m、n的值．

解答：解：設二次函數y=x²+（3-mt）x-3m的圖象與x軸的兩個交點分別為（x₁，0），（x₂，0），
二次函數y=-x²+（2t-n）x+2nt的圖象與x軸的兩個交點分別為（x₃，0），（x₄，0），
則d₁=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(mt-3)2+12mt

，
d2=|x3-x4|  =

(x3+x4)2-4x3x4

=

(n-2t)2+8nt

．
∵d₁≥d₂對一切實數t恒成立，
∴（mt-3）²+12mt≥（n-2t）²+8nt對一切實數t恒成立，
即（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0對一切實數t恒成立，
∴

m2-4＞0 △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

，
∴

m2＞4 (mn-6)2≤0

，
又∵m、n為正整數，
∴m=3，n=2或m=6，n=1．…（14分）

點評：本題考查函數的恒成立問題，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．