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已知一條直線l過定點M(2,1),且與x,y軸的正半軸分別相交于A,B(O是直角坐標系的原點).
(1)當三角形△ABO的面積為
9
2
時,求直線l的方程;
(2)當三角形△ABO的面積最小時,求直線l的方程.
考點:直線的一般式方程
專題:直線與圓
分析:由題意設出直線l的方程,代入點的坐標,把截距用斜率表示,再由與x,y軸的正半軸分別相交求得斜率的范圍,代入三角形的面積公式化簡.
(1)由面積等于
9
2
求出直線的斜率,則直線方程可求;
(2)把面積函數變形,利用基本不等式求最值,并求得面積取最小值時的斜率,則直線方程可求.
解答: 解:設直線方程y=ax+b,
根據M(2,1)在直線上,1=2a+b,則b=1-2a,
∴y=ax+1-2a,
與x軸、y軸的正半軸相交,
取x=0,得y=1-2a>0,a<
1
2

取y=0,得x=
2a-1
a
>0,a>0時,a>
1
2
;a<0時,a<
1
2

綜上:a<0.
S△AOB=
1
2
(1-2a)•
2a-1
a
=-
1
2
(2a-1)2
a
=-
1
2
4a2-4a+1
a
=-
1
2
(4a+
1
a
-4)
=-2a+
1
-2a
+2

(1)當三角形△ABO的面積為
9
2
時,由-2a+
1
-2a
+2=
9
2
,解得:a=-1或a=-
1
4

∴直線l的方程為:y=-x+3或y=-
1
4
x
+
3
2

(2)S△AOB=-2a+
1
-2a
+2≥4

當且僅當-2a=
1
-2a
,即a=-
2
2
時取等號.
∴三角形OAB面積的最小值為4,直線方程就是y=-
2
2
x+1+
2
點評:本題考查了直線的斜截式方程,考查了利用基本不等式求函數的最值,體現了分類討論的數學思想方法,是中檔題.
練習冊系列答案
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3
tan10°)÷cos220°.

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x2
m
+
y2
n
=1(m>0,n>0)的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形,且一個焦點恰好是拋物線y2=8x的焦點,則該橢圓的離心率為
 
①,標準方程為
 

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(3)甲一定在乙的右端(可以不相鄰)

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1
2
,tanC=
1
3
,則∠B=
 

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A、96B、120
C、144D、156

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