Question

已知函數(shù)f（x）=

1+sinx

2+cosx

-ax（a∈R）既有最大值又有最小值，則f（x）值域?yàn)?!--BA-->

[0，

4

3

]

．

Answer 1

分析：因?yàn)閥=x的值域?yàn)镽，所以根據(jù)條件可知a=0，然后根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式求函數(shù)的值域即可．

解答：解：∵函數(shù)y=x的值域?yàn)镽，
∴要使函數(shù)f（x）=

1+sinx

2+cosx

-ax（a∈R）既有最大值又有最小值，
則必有a=0，
∴y=f（x）=

1+sinx

2+cosx

，
即2y+ycosx=1+sinx，
∴sinx-ycosx=2y-1
即

1+y2

sin(x+θ)=2y-1，θ為參數(shù)，
∴sin（x+θ）=

2y-1

1+y2

，
∵|sin（x+θ）|≤1，
∴|

2y-1

1+y2

|≤1，
平方得3y²-4y≤0，解得0≤y≤

4

3

，即f （x）值域?yàn)?[0，

4

3

]．
故答案為：[0，

4

3

]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的值域的求法，利用條件確定a=0是解決本題的關(guān)鍵，利用輔助角公式將三角函數(shù)化簡，利用三角函數(shù)的有界性是解決本題的關(guān)鍵．