Question

選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C₁的參數方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（其中α為參數），M是曲線C₁上的動點，且M 是線段OP 的中點，（其中O點為坐標原點），P 點的軌跡為曲線C₂，直線l 的方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

，直線l 與曲線C₂交于A，B兩點．
（1）求曲線C₂的普通方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₁的參數方乘化為普通方程，設點P的坐標為（x，y），由M 是線段OP 的中點，可得點M的坐標，再把點M的坐標代入C₁的普通方程化簡可得所求．
（2）求得直線l的直角坐標方程，求出圓心（0，4）到直線的距離d，利用弦長公式求出線段AB 的值．

解答：解：（1）由曲線C₁的參數方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（其中α為參數），消去參數化為普通方程為 x²+（y-2）²=4．
設點P的坐標為（x，y），由M 是線段OP 的中點，可得點M的坐標為（

x

2

，

y

2

）．
再由M是曲線C₁上的動點可得 (

x

2

)2+(

y

2

-2)2=4，即 x²+（y-4）²=16．故曲線C₂的普通方程為  x²+（y-4）²=16．
（2）直線l 的方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

，即 ρcosθ+ρsinθ=2，即 x+y-2=0．
由于圓心（0，4）到直線的距離等于d=

|0+4-2|

2

=

2

，圓的半徑等于4，
∴線段AB=2

r2-d 2

=2

14

．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于基礎題．