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已知非零向量
a
、
b
滿足|
a
|=
3
|
b
|，若函數f(x)=
1
3
x3+|
a
|x2+2
a
•
b
x+1在R上有極值，則＜a，b＞的取值范圍是
 
．
分析：本題可以先利用向量的數量積求出函數f（x）的解析式，即：f(x)=
1
3
x3+
3
 |
b
|  x2+2
3
|
b
|2cos＜
a
，
b
＞x+1，然后利用極值存在，轉化為開口向上的二次函數與x軸有兩個交點，利用判別式△＞0可解得．
解答：解：由已知，f(x)=
1
3
x3+|
a
|x2+2|
a
|•|
b
|cos＜
a
，
b
＞x+1，
即f(x)=
1
3
x3+
3
 |
b
|  x2+2
3
|
b
|2cos＜
a
，
b
＞x+1，
所以f′(x)=x2+2
3
|
b
|x+2
3
|
b
|2cos＜
a
，
b
＞
要使函數 f(x)=
1
3
x3+|
a
|x2+2
a
•
b
x+1在R上有極值，注意到f′（x）為開口向上的二次函數，所以必須且只需其判別式△＞0，
即有：△=12|
b
|2-4×2
3
|
b
|2cos＜
a
，
b
＞＞0，即有：cos＜
a
，
b
＞ ＜
3
2
成立，得
π
6
＜＜
a
，
b
＞≤ π．
故答案為：(
π
6
，π]
點評：本題考查了向量與函數的綜合知識，考查向量的數量積以及求向量的夾角，利用函數的導數研究極值，考查函數在實數集R上的條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求證：
a
⊥
b
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知非零向量
a
、
b
滿足|
a
+
b
|=|
b
|，
①若
a
、
b
共線，則
a
=-2
b
；
②若
a
、
b
不共線，則以|
a
|、|
a
+2
b
|、2|
b
|為邊長的三角形為直角三角形；
③2|
b
|＞|
a
+2
b
|； ④2|
b
|＜|
a
+2
b
|．
其中正確的命題序號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•鷹潭一模）已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|=
2
3
3
|
a
|，則
a
+
b
與
a
-
b
的夾角為
π
3
π
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•杭州模擬）已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=1，|
a
-
b
|=
3
，
a
與
b
的夾角為120°，則|
b
|=
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•珠海二模）已知非零向量
a
，
b
滿足
a
⊥
b
，則函數f(x)=(
a
x+
b
)2(x∈R)是（　�。�

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同步練習冊答案
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