Question

已知函數f(x)=sin

x

3

cos

x

3

+

3

(1-sin2

x

3

)．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其圖象對稱軸的方程；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c的長成等比數列，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，結合正弦函數的對稱中心、對稱軸方程求解即可；
（2）通過b²=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，求出

2x

3

+

π

3

的范圍，利用正弦函數的值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函數f(x)=sin

x

3

cos

x

3

+

3

(1-sin2

x

3

)
=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

(1+cos

2x

3

)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

．
由

2x

3

+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z）得x=

3k

2

π+

π

4

（k∈Z），
即其圖象對稱軸的方程x=

3k

2

π+

π

4

（k∈Z）．
（2）由已知b²=ac，cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosx＜1，0＜x≤

π

3

則

π

3

＜

2x

3

+

π

3

≤

5π

9

，
∴sin

π

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）≤1，
∴

3

＜sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

≤1+

3

2

，
則f（x）的值域為(

3

，1+

3

2

]．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，余弦定理的應用，正弦函數的值域的求法，考查計算能力．