Question

【題目】已知橢圓與x軸負(fù)半軸交于，離心率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點(diǎn)，若，直線MN是否恒過定點(diǎn)，如果是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點(diǎn),詳見解析

【解析】

（1）依題意由橢圓的簡單性質(zhì)可求出，即得橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)可求出直線的方程，將其化簡成點(diǎn)斜式，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）由題有，.∴，∴.∴橢圓方程為.

（2）設(shè)直線的方程為：，則

∴或，∴，同理，

當(dāng)時(shí)，由有.∴，同理，又

∴，

當(dāng)時(shí)，∴直線的方程為

∴直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)也過定點(diǎn)..

綜上:直線恒過定點(diǎn).