Question

已知函數f（x）=3^x+k （k為常數），A（-2k，2）是函數y=f^-1（x）圖象上的點．
（1）求實數k的值及函數f^-1（x）的解析式；
（2）將y=f^-1（x）的圖象按向量

a

=（3，0）平移，得到函數y=g（x）的圖象，若2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立，求正實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）=3^x+k （k為常數），A（-2k，2）是函數y=f^-1（x）圖象上的點，可求得k，進而可求f^-1（x）的解析式；
（2）y=g（x）=f^-1（x-3）=log₃x（x＞0），2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立等價于2log₃（x+m）-log₃x≥1恒成立，進而可得

x＞0 m＞0 x+m≥ 3x

，由此可求正實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=3^x+k （k為常數），A（-2k，2）是函數y=f^-1（x）圖象上的點
∴-2k=3²+k，∴k=-3
∴y=f（x）=3^x-3，∴x=log₃（y+3）
∴f^-1（x）=log₃（x+3）（x＞-3）
（2）y=g（x）=f^-1（x-3）=log₃x（x＞0）
2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立等價于2log₃（x+m）-log₃x≥1恒成立
∴

x+m＞0 x＞0 (x+m)2 x ≥3

，∴

x＞0 m＞0 x+m≥ 3x

∵x＞0，∴m≥-x+

3x

=-(

x

-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

∴m≥

3

4

．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查恒成立問題，解題的關鍵是確定函數的解析式，屬于中檔題．