Question

已知函數(shù)定義在上，對任意的，，且.
（1）求，并證明：；
（2）若單調(diào)，且.設(shè)向量，對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1） （2）

解析試題分析：（1）借助于特殊值得，然后把變形
= 即可，（2） 首先判斷出函數(shù)是增函數(shù)，然后找出，代入整理的，最后用分類討論的思想方法求出即可.
（1）令得，又∵，，      2分
由得=，
∵，∴.                                  5分
（2） ∵，且是單調(diào)函數(shù)，∴是增函數(shù).       6分
而，∴由，得，
又∵因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/18/c/16l3v3.png" style="vertical-align:middle;" />是增函數(shù)，∴恒成立，.
即.                                        8分
令，得    (﹡).
∵，∴，即.
令，              10分
①當(dāng)，即時(shí)，只需，(﹡)成立，
∴，解得；                               11分
②當(dāng)，即時(shí)，只需，(﹡)成立，
∴，解得，∴.              12分
③當(dāng)，即時(shí)，只需，(﹡)成立，
∴，  ∴，                                    13分
綜上，.                                              14分
考點(diǎn)：抽象函數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性；向量的數(shù)量積公式；不等式恒成立的問題；分類討論的思想方法.