Question

【題目】如圖，已知三棱柱，側面為菱形，.

（1）求證：平面；

（2）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）由為菱形，得，又由，連接，得，即可證明平面；（2）法一：證明得到進一步證得，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立坐標系求平面的法向量與平面的法向量，利用二面角向量公式求解即可；法二：證明得到設，得，因此為等腰三角形，證得也為等腰三角形，取的中點，連接，則為二面角的平面角，在中，運用余弦定理求解角即可.

（1）因為側面為菱形，所以，

因為，連接，所以，，

所以平面

（2）解法一：

因為，則

所以，又，可得

，，

令，則，

如圖，

以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立坐標系．

設平面的法向量為

，令，則

同理平面的法向量為,

所以，二面角的余弦值為

（2）解法二：

因為，則

所以，設，因為，側面為菱形，所以，

又因為，可得， 所以，因此為等腰三角形，

那么也為等腰三角形，取的中點，連接，則為二面角的平面角

在中，可得

所以

所以，二面角的余弦值為