Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，橢圓上短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為；

（1）求橢圓的方程；

（2）過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點（點在第二象限），是橢圓上位于直線兩側的動點，若，求證：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據離心率和三角形面積可構造關于的方程，解方程可求得，進而得到橢圓方程；（2）假設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理得到和；根據知，從而可利用韋達定理形式表示出等式，化簡可得；當時，可知過點，不符合題意；所以可知.

（1）由題意可得：且

又得：，，

橢圓的方程為

（2）證明：由（1）可得：直線：，

設直線的方程為，代入橢圓方程

消可得

設，，則

則，

即

化簡可得

或

當時，直線的方程為

則直線經過點，不滿足題意

即直線的斜率為定值