Question

在平面直角坐標系中，任意一個二元一次方程Ax+By+C=0都表示一條直線，那么，在空間直角坐標系中，任意一個三元一次方程Ax+By+Cz=D表示什么圖形呢？

(1)設有點A(1，2，3)和B(2，-1，4)，求得兩點距離相等的點P滿足的方程，并指出方程表示什么圖形；

(2)在空間直角坐標系中，任意一個三元一次方程Ax+By+Cz=D(A、B、C不同時為零)都表示什么圖形.

Answer 1

【探究】  ①依題意，設M(x,y,z)為所求到A和B等距離的點，

由于|AM|=|BM|，

所以

等式兩邊平方，化簡得2x-6y-2z-7=0,

這就是所求的平面方程，表示線段AB的垂直平分面.

②可以證明，在空間直角坐標系中，任意一個三元一次方程Ax+By+Cz=D(A、B、C不同時為零)都表示一個平面；反過來，任意一個平面的方程都是一個三元一次方程.

【規律總結】 對于特列的三元一次方程，

x=a,表示平行于xOz面的平面，且與yOz面的距離為|a|;

y=b,表示平行于xOz面的平面，且與yOz面的距離為|b|;

z=c,表示平行于xOz面的平面，且與yOz面的距離為|c|;

x=0,y=0,z=0分別表示yOz,xOz,xOy三個坐標平面.