Question

（2012•開封一模）在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁：x²+y²=1，以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線C₁上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的

3

、2倍后得到曲線C₂，試寫出直線l的直角坐標方程和曲線C₂的參數方程；
（2）在曲線C₂上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析：（1）直接寫出直線l的直角坐標方程，將曲線C₁上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的

3

、2倍后得到曲線C₂的方程，然后寫出曲線C₂的參數方程；
（2）設出曲線C₂上一點P的坐標，利用點P到直線l的距離公式，求出距離表達式，利用三角變換求出最大值．

解答：解：（1）由題意可知：直線l的直角坐標方程為：2x-y-6=0，
因為曲線C₂的直角坐標方程為：(

x

3

)2+(

y

2

)2=1．
∴曲線C₂的參數方程為：

x= 3 cosθ y=2sinθ

（θ為參數）．
（2）設P的坐標（

3

cosθ ，2sinθ），則點P到直線l的距離為：
d=

|2 3 cosθ-2sinθ-6|

5

=

|4sin(60°-θ)-6|

5

，
∴當sin（60°-θ）=-1時，點P（-

3

2

，1），
此時dmax=

|4+6|

5

=2

5

．

點評：本題是中檔題，考查直線的參數方程，直線與圓錐曲線的位置關系，點到直線的距離的應用，考查計算能力，轉化思想．