Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*
（1）證明數列{a_n-n}為等比數列
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=4a_n-3n+1可得a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4a_n-4n=4（a_n-n），從而可證
（2）由（1）可求a_n，利用分組求和及等差數列與等比數列的求和公式可求S_n

解答：解：（1）∵a_n+1=4a_n-3n+1n∈N^*，
∴a_n+1-（n+1）
=4a_n-3n+1-（n+1）…（4）分
=4a_n-4n=4（a_n-n）…（6）分
∴{a_n-n}為首項a₁-1=1，公比q=4的等比數列…（8）分
（2）∵a_n-n=4^n-1
∴a_n=n+4^n-1…（10）分
S_n=1+2+…+n+（1+4+…+4^n-1）
=

n(n+1)

2

+

1-4n

1-4

=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

…（13）分

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造證明等比數列，等比數列的通項公式的求解及分組求和方法的應用，等差數列及等比數列的求和公式的應用．