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已知向量
a
=（x，1），
b
=（2，3x），則
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的最大值是
2
4
2
4
．
分析：由題意和向量的數量積求出
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的表達式，再對x分類，分別求出x≠0和x＜0時
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的值或范圍；當x＞0時對式子化簡后，利用基本不等式得2x+
1
x
≥2
2
，代入后求出
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的最大值，即得答案．
解答：解：∵
a
=（x，1），
b
=（2，3x），
∴
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
=
2x+3x
x2+1+4+9x2
=
5x
10x2+5
=
x
2x2+1
，
當x=0時，
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
=0；
當x≠0時，①x＜0時，
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
＜0，
②x＞0時，
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
=
x
2x2+1
=
1
2x+
1
x
，
∵x＞0，∴2x+
1
x
≥2
2
當且僅當2x=
1
x
時取等號，
∴
1
2x+
1
x
≤
1
2
2
=
2
4
，
綜上得，
a
•
b
|
a
|2+|
b
|2
的最大值是
2
4
，
故答案為：
2
4
．
點評：本題是向量和函數結合的題型，考查了向量的數量積運算，基本不等式求函數的最值，以及分類討論思想．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinωx，1)，
b
=(
3
，cosωx)，ω＞0，記函數f（x）=
a
•
b
，若f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）若x∈(0，
π
3
]，求此時函數f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（x，1，0），
b
=（1，2，3），若
a
⊥
b
，則x=
-2
-2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（x，1），
b
=（4，x）且
a
與
b
的夾角為π，則x=（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(π-x)，1)，
b
=(cos(-x)，
1
3
)．
（1）若
a
∥
b
，求tanx；
（2）若f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最小正周期及f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（x，1），
b
=（4，x），若向量
a
和
b
方向相同，則實數x的值是（　　）

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