Question

（本題滿分14分）

已知函數．

（1）當a = 2時，求f (x) 的最小值；

（2）若f (x)在[1，e]上為單調減函數，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）5－3ln2；（2）a≤。

【解析】

試題分析：(1) 當a = 2時，f (x) =" 2x+" －3lnx

f' (x) = 2－－= ………………2分

令 f' (x) = 0得x = 2或－（∵x>0，舍去負值）……………………3分

x	(0，2)	2	(2，+ ¥)
f' (x)	－	0	+
f (x)	↘	5-3ln2	↗

                                    ………………………………………5分

∴ 當a = 2時，函數 f (x) 的最小值為5－3ln2．………………… 6分

(2)∵ f' (x) = ，

令 h(x) = ax ²－3x－a = a(x－)²－，……………………8分

要使f (x)在[1，e]上為單調遞減函數，只需f' (x)在[1，e]內滿足： f' (x) ≤ 0恒成立，

∵ h (1) = －3<0

∴ h (e) = ae²－3e－a≤0，∴a≤………………11分

①當0≤a≤時，f' (x) ≤ 0恒成立

②當a < 0時，x=  Ï [1,e], ∴h(x)<0 (x Î [ 1, e])

∴ f' (x) <0, 符合題意．     ………………………………………13分

綜上可知，當a≤時，f (x) 在[1，e]上為單調函數．…… 14分

（分離變量法，相應得分）

考點：利用導數研究函數的最值；利用導數研究函數的單調性；

點評：本題需要注意的是：要滿足f (x)在[1，e]上為單調減函數，需滿足f'(x) ≤ 0在[1，e]上恒成立且不恒為0.不少同學都錯認為“需滿足f'(x) <0在[1，e]上恒成立”