Question

圍建一個面積為360 m²的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2 m的進出口，如圖所示已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)

(1)將y表示為x的函數；

(2)寫出f(x)的單調區間，并證明；

(3)根據(2)，試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖，設矩形的另一邊長為a m 　　則y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360 　　由已知ax＝360a＝ 　　∴y＝225x＋－360(x＞0)　　6分 　　(2)任取x1＞x2＞0 　　y1－y2＝225(x1－x2)＋ 　　＝(x1－x2)(225－)　　10分 　　∴x1x2＞()2＝242時，y1＞y2 　　x1x2＜242時，y1＜y2 　　∴x1＞x2≥24時 　　y1＞y2　24＞x1＞x2＞0時 　　y1＜y2 　　即f(x)在(0，24)單調減，在(24，＋∞)單調增　　14分 　　(3)x＝24時，修建圍墻的總費用最小，最小費用為10440元　　16分