Question

已知：三定點A(-,0)、B(,0)、C(-,0)，動圓M與線段AB相切于點N，且|AN|-|BN|=，現分別過點A、B作動圓M的切線，兩切線交于點P．

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)直線3x-3my-2=0截動點P的軌跡所得弦長為2，求m的值；

(3)是否存在常數λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值．若不存在，并請說明理由．

Answer 1

解:(1)由平面幾何知識得：

|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=

∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線(部分)

設它的方程為，則

解得：

故所求的方程為 

(2)設直線3x-3my-2=0與動點P的軌跡相交于點Q₁(x₁,y₁)、Q₂(x₂,y₂),

∵直線3x-3my-2=0恒過雙曲線的焦點B

∴由雙曲線定義知：

|Q₁Q₂|=e(x₁+x₂-)=2(x₁+x₂-)=2

∴x₁+x₂=

若m=0，則x₁=x₂=,此時x₁+x₂=，即|Q₁Q₂|=2合題意

若m≠0,由

消去y得：9x²-3,化簡得：

(27m²-9)x²+12x-3m²-4=0,x₁+x₂=

解得m=0與m≠0矛盾.  ∴m=0 

 (3)當x=時,|BP|=1,|BC|=1,此得∠PCB=45°,∠PBC=90°猜想λ=2 

當x≠時,設P(x,y)

則y²=-3(),且tan∠PCB=

∴tan2∠PCB=

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

∴tan2∠PBC=tan∠PBC

又∵0＜∠PBC＜π,0＜2∠PBC＜π

∠PBC=λ∠PBC.