Question

已知：三定點A(-

2

3

，0)，B(

2

3

，0)，C(-

1

3

，0)，動圓M線AB相切于N，且|AN|-|BN|=

2

3

，現分別過點A、B作動圓M的切線，兩切線交于點P．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）直線3x-3my-2截動點P的軌跡所得弦長為2，求m的值；
（3）是否存在常數λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并請說明理由．

Answer 1

（1）由平幾知識得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=

2

3

＞|AB|=

4

3

∴動點P的軌跡是A、B為焦點的雙曲線（部分）
設它的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(x＞a)，則

2a= 2 3 2c= 4 3 c2=a2+b2

解得：

a2= 1 9 b2= 1 3

，故所求的方程為

x2

1 9

-

y2

1 3

=1(x＞

1

3

)
（2）設直線3x-3my-2=0與動點P的軌跡相交于是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
∵直線3x-3my-2=0恒過雙曲線的焦點B
∴由雙曲線定義知|Q₁Q₂|=e(x1+x2-

1

3

)=2(x1+x2-

1

3

)=2
∴x₁+x₂=

4

3

若m=0，則x₁=x₂=

2

3

，此時x1+x2=

4

3

，即|Q₁Q₂|=2合題意若m≠0，由

3x-3my-2=0 9x2-3y2=1

，消去y得：9x2-3(

2

3m

-

1

m

x)2=1，
化簡得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，x₁+x₂=

12

9-27m2

=

4

3

解得m=0與m≠0矛盾．
∴m=0
（3）當x=

2

3

時，|BP|=1，|BC|=1，此時∠PCB=45°，∠PBC=90°
猜想λ=2
當x≠

2

3

時，設P（x，y）則{y^2}=-3(

1

9

-x2)，且tan∠PCB=

y

x+ 1 3

∴tan2∠PCB=

2•( y x+ 1 3 )

1- y2 (x+ 1 3 )2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2-y2

=

2y(x+ 1 3 )

(x+ 1 3 )2+3( 1 9 -x2)

=

2y

4 3 -2x

=

y

2 3 -x

而tan∠PBC=-tan∠PBx=

y

x- 2 3

=

y

2 3 -x

∴tan2∠PCB=tan∠PBC
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π
∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB