Question

已知函數，且f（4）=3
（1）求m的值；
（2）證明f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）據f（4）=3求出待定系數m的值．
（2）先看函數的定義域是否關于原點對稱，再看f（x）與f（-x）的關系，依據奇偶性的定義進行判斷．
（3）在（0，+∞）上任取x₁＞x₂＞0，計算對應的函數值之差，把此差變形為因式之積的形式，然后判斷符號，比較f（x₁）與
f（x₂）的大小，得出結論．
解答：解：（1）∵f（4）=3，∴，∴m=1．（2分）
（2）因為，定義域為{x|x≠0}，關于原點成對稱區間．（3分）
又，（5分）
所以f（x）是奇函數．（6分）
（3）設x₁＞x₂＞0，則（9分）
因為x₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，，（11分）
所以f（x₁）＞f（x₂），因此f（x）在（0，+∞）上為單調增函數．
點評：本題考查用待定系數法求函數解析式，以及判斷函數單調性、奇偶性的方法．