Question

已知函數，且f（4）=3．
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）判斷f（x）在區間（0，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（3）若在區間[1，3]上，不等式f（x）＞2x+2m+1恒成立，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（4）=3得：n=1
∴，其定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
又
∴函數f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上為奇函數．
（2）函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
證明如下：任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
那么=
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（3）由f（x）＞2x+2m+1，
得
∴2m+1
∴當x∈[1，3]，的最小值是-5，
∴2m+1＜-5，得m＜-3，
所以實數m的取值范圍是（-∞，-3）．
分析：（1）由f（4）=3可求n=1，從而可得，然后檢驗f（-x）與f（x）的關系即可判斷
（2）要判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，先設0＜x₁＜x₂，時，利用作差f（x₁）-f（x₂）判斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可判斷
（3）由f（x）＞2x+2m+1，可得，只要求_min，可求m的范圍
點評：本題主要考查了函數的奇偶性及函數的單調性的應用，函數的恒成立與函數的最值求解的相互轉化的應用，屬于函數知識的綜合應用