Question

（本小題滿分12分）
已知數列{}中，（n≥2，），
（1）若，數列滿足（），求證數列{}是等差數列；
（2）若，求數列{}中的最大項與最小項，并說明理由；
（3）（理做文不做）若，試證明：．

Answer 1

解：（1），而，
∴．
∴{}是首項為，公差為1的等差數列．…………………4分
（2）依題意有，而，
∴．對于函數，在x＞3．5時，y＞0，，
在（3．5，）上為減函數．　故當n＝4時，取最大值3．而函數
在x＜3．5時，y＜0，
，在（，3．5）上也為減函數．故當n＝3時，取最小值，
＝－1．…………………8分
（3）先用數學歸納法證明，再證明． ①當時，成立；
②假設當時命題成立，即，當時，
 故當時也成立，
綜合①②有，命題對任意時成立，即．…………………11分
（也可設（1≤≤2），則，
故）．
下證：　,

．…………………12分

解析