Question

（2009•金山區二模）在三棱錐C-ABO中，BO、AO、CO所在直線兩兩垂直，且AO=CO=1，∠BAO=60°，E是AC的中點．
（1）求三棱錐C-ABO的體積；
（2）D是AB的中點，求異面直線DC和OE所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）由題意得：CO⊥平面ABO，即CO就是三棱錐C-ABO的高，然后根據錐體的體積公式進行求解即可；
（2）設AD的中點為F，連接EF、OF，因為E為AC的中點，所以∠FEO就是異面直線DC和OE所成的角，然后利用余弦定理求出此角，最后利用反三角表示此角即可．

解答：解：（1）由題意得：CO⊥平面ABO，即CO就是三棱錐C-ABO的高，…（2分）
在Rt△ABO中，AO=1，∠BAO=60°，所以BO=

3

，AB=2，
CO=1，所以V_C-ABO=

1

3

×

1

2

×AO×BO×CO=

3

6

．…（6分）
（2）設AD的中點為F，連接EF、OF，因為E為AC的中點，所以EF∥CD，
所以∠FEO就是異面直線DC和OE所成的角，…（9分）
在△AOF中，AO=2AF=1，∠BAO=60°，
所以△AOF為直角三角形，OF=

3

2

，
又在Rt△COD中，CD=

2

，所以EF=

2

2

，又OE=

2

2

在△EFO中，cos∠FEO=

EF2+OE2-OF2

2OE×EF

=

1

4

…（13分）
∠FEO=arccos

1

4

，異面直線DC和OE所成的角的大小為arccos

1

4

．…（14分）

點評：本題主要考查了棱錐的體積的計算，以及異面直線的所成角，同時考查了余弦定理的應用，屬于中檔題．