Question

已知函數f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+a，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最小值為1，求a的值，并指出這時x的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數恒等變換，得f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+a=sin（2x-

π

6

）-

1

2

+a．由此能求出f（x）的最小正周期和單調遞增區間．
（2）由f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

+a，x∈[0，

π

2

]，知2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．由f（x）的最小值為1能求出a的值及此時的x值．

解答：（本題滿分12分）
解：（1）∵f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+a
=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+a
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

+a
=sin（2x-

π

6

）-

1

2

+a．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
∴f（x）的單調遞增區間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．
∴當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，f（x）_min=-1+a=1，解得a=2．
此時，x=0．

點評：本題考查三角函數的周期和增區間的求法，考查當三角函數值取最小值時的a的值和x的值．解題時要認真審題，注意三角函數恒等式的合理運用．