Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：
（1）求AC與A₁D所成角的大小；
（2）平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）A₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析：以B₁為坐標原點，建立空間坐標系，設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，可求出各頂點的坐標
（1）分別求出AC與A₁D方向向量，代入向量夾角公式，可得AC與A₁D所成角的大小；
（2）要證明兩個平面平行，由面面平行的判定定理知：須在某一平面內尋找兩條相交且與另一平面平行的直線．求出AB₁與C₁D的方向向量，通過證明向量平行，得到AB₁與C₁D平行，同理證明出AD₁與C₁B平行，可得結論．
（3）求出A₁C的方向向量，并證明A₁C的方向向量是平面BDC₁的法向量，可得A₁C⊥平面BDC₁．

解答：解：令正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以B₁為坐標原點，建立空間坐標系如下圖所示：

（1）則A（0，1，1），C（1，0，1），A₁（0，1，0），D（1，1，1）
∴

AC

=（1，-1，0），

A1D

=（1，0，1）
設AC與A₁D所成角的大小為θ
則cosθ=

| AC • A1D |

| AC |•| A1D |

=

1

2

故θ=

π

3

證明：（2）∵

AB1

=

C1D

=（0，-1，-1）
∴AB₁∥C₁D，
又∵AB₁?平面AB₁D₁，C₁D?平面AB₁D₁，
∴C₁D∥平面AB₁D₁，
同理可證：C₁B∥平面AB₁D₁．
又C₁B∩C₁D=C₁，
∴平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）

A1C

=（1，-1，1），

BD

=（1，1，0），

BC1

=（1，0，-1）
∴

A1C

•

BD

=0，即

A1C

⊥

BD

，即A₁C⊥BD
且

A1C

•

BC1

=0，即

A1C

⊥

BC1

，即A₁C⊥BC₁．
∵BD∩BC₁=B，BD，BC₁?平面BDC₁．
∴A₁C⊥平面BDC₁．

點評：第一問在使用傳統方法證明時，必須強調一作二證三計算的步驟，第二問在證明線面平行時，一定要強調平面外和平面內的直線．