Question

（2009四川卷理）（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求證：；

（II）設線段的中點為，在直線上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

（III）求二面角的大小。

Answer 1

本小題主要考察平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角

等基礎知識，考察空間想象能力、邏輯推理能力和數學探究意識，考察應用向量知識解決數學問題的能力。

解法一：

（Ⅰ）因為平面⊥平面,平面，

平面平面，

所以⊥平面

所以⊥.

因為為等腰直角三角形，  ，

所以

又因為，

所以，

即⊥,

所以⊥平面。     ……………………………………4分

      （Ⅱ）存在點,當為線段AE的中點時，PM∥平面

                取BE的中點N，連接AN,MN，則MN∥＝∥＝PC

                所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN

                因為CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，

                所以PM∥平面BCE           ……………………………………8分

       （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延長線于G，則FG∥EA。從而，FG⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，連結FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF為二面角F-BD-A的平面角

因為FA=FE, ∠AEF=45°,

所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.

設AB=1,則AE=1,AF=.     

FG=AF·sinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

GH=BG·sinGBH=·=

在Rt△FGH中，tanFHG= =

故二面角F-BD-A的大小為arctan.       ………………………………12分

解法二:

(Ⅰ)因為△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因為平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標原點,建立 如圖所示的直角坐標系A-xyz.

設AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因為FA=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

從而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因為BE平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

 (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.

從而=（，）.

于是

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內，

故PM∥平面BCE.                                  ………………………………8分

(Ⅲ) 設平面BDF的一個法向量為，并設=（x，y，z）

=(1，1，0)，

     即

去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）

取平面ABD的一個法向量為=（0，0，1）

故二面角F-BD-A的大小為.        ……………………………………12分