Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分別是棱AB，AC上的動點，且AD=CE，連接DE，當三棱錐P-ADE體積最大時，平面PDE和平面PBC所成二面角的余弦值為（　　）

Answer 1

分析：求出三棱錐P-ADE體積最大時，D、E分別是棱AB，AC上的中點，作出平面PDE和平面PBC所成二面角，利用余弦定理，即可求得結論．

解答：解：由題意，設AB=BC=CA=2PA=2，AD=CE=t，則三棱錐P-ADE體積為

1

3

×

1

2

×t×(2-t)×

3

2

=

3

12

(-t2+2t)
=-

3

12

(t-1)2+

3

12

∴t=1時，三棱錐P-ADE體積最大，此時，D、E分別是棱AB，AC上的中點
取DE中點M，BC中點N，連接PM，MN，PN，則
∵DE∥BC，PM⊥DE，PN⊥BC
∴∠MPN為平面PDE和平面PBC所成二面角，
在△MNP中，PM=

7

2

，MN=

3

2

，PN=2，
∴cos∠MPN=

PM2+PN2-MN2

2PM•PN

=

7 4 +4- 3 4

2• 7 2 •2

=

5 7

14

故選D．

點評：本題考查三棱錐體積的計算，考查面面角，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．