Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)且.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)， ， ，若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】 (1) ；（2）當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)弟增;當(dāng)時(shí), 在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及和，利用公式求解；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并化解為，分和，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)條件可將問題轉(zhuǎn)化為，即根據(jù)（2）求的最小值和求函數(shù)的最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：(1)當(dāng)時(shí)， ，

=

切線的斜率，又，

故切線的方程為，即

（2）且,

()當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

()當(dāng)， 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

且,故時(shí), 時(shí)

時(shí), .

故在上均為單調(diào)增函數(shù),在上為減函數(shù).

綜上所述,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)弟增;當(dāng)時(shí), 在

、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知， 又

， 在上為增函數(shù). .依題意有.

故的取值范圍為.