Question

已知函數，
（1）g[f（1）]=________；
（2）若方程g[f（x）]-a=0的實數根的個數有4個，則a的取值范圍是________．

Answer 1

解：（1）∵，
∴f（1）=-1-2=-3，
即g[f（1）]=-3+1=-2．
（2）由f（x）=-x²-2x＞0解得，-2＜x＜0，
由f（x）=-x²-2x≤0解得，x≥0或x≤-2，
則g[f（x）]=，
設t=-x²-2x=-（x+1）²+1，當-2＜x＜0時，則t∈（0，1]，
當x≥0或x≤-2時，t∈（-∞，0]，
∴函數g[f（x）]變成，作出此函數的圖象：
由圖象知，方程g[f（x）]-a=0的實數根的個數有4個時，
即y=a的圖象與函數圖象交點個數有2個，
因當t=1時，g（t）=，當t=時，g（t）=1，
故a的取值范圍是．
故答案為：（1）-2；（2）
分析：（1）由題意先求出f（1）=-3，再根據g（x）的解析式代入g（x）=x+1求值；
（2）由g（x）的解析式知，需要求出f（x）＞0和f（x）≤0的解集，再代入對應的解析式，由題意還需要求出函數g[f（x）]的值域和圖象，故用換元法設t=-x²-2x，并且求出對應t的值域，再代入g[f（x）]的解析式，畫出函數g（t）的圖象，再由圖象求出a的范圍．
點評：本題考查了分段函數求值，含有多層的求值問題要按“由里到外”的順序逐層求值，一定要注意自變量的值所在范圍，代入相應的解析式求解；對于第二問需要用多次換元，多次代入解析式，多次求出對應函數的值域，再畫出函數的圖象，根據圖象求解，思維含量大，難度大，可作為選做題．