Question

已知y=f（x）是定義在R上的函數，對于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且當x＞0時，f（x）=-x²+2x+1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）畫出函數y=f（x）的圖象，并指出f（x）的單調區間及在每個區間上的增減性；
（3）若函數f（x）在區間[-1，a-2]上單調遞增，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可判斷y=f（x）是定義在R上的奇函數，f（0）=0；當x＜0時，-x＞0，依題意，可求得此時f（x）=x²+2x-1，從而可知y=f（x）的解析式；
（2）作出函數y=f（x）的圖象，從而可指出f（x）的單調區間及在每個區間上的增減性；
（3）依題意，要使f（x）在區間[-1，a-2]上單調遞增，只需

a-2＞-1 a-2≤1

，從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=f（x）是定義在R上的函數，f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴當x＜0時，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+2（-x）+1]=x²+2x-1，
∵f（0）=0，
∴f（x）=

-x2+2x+1(x≥0) 0                  (x=0) x2+2x-1  (x＜0)

．
（2）作圖如下：

由圖知，f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是減函數，f（x）在[-1，1]上是增函數．
（3）由圖知，f（x）在[-1，1]上單調遞增，要使f（x）在區間[-1，a-2]上單調遞增，
只需

a-2＞-1 a-2≤1

，解得1＜a≤3．

點評：本題考查函數單調性的性質，考查作圖與識圖能力，考查分析、推理與運算能力．