Question

7．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²-3x，且f（x）在x=-1處取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，5]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過函數的極值點，即可求a的值；
（Ⅱ）利用第一問，通過函數的極值點，判斷函數的單調性，求解函數的極值與端點值，即可得到結果．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-ax-3，…．（1分）
因為f（x）在x=-1處取得極值，所以f'（-1）=（-1）²+a-3=0，…．（4分）
解得a=2，
經檢驗，a=2符合題意，因此a=2．…．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x$，f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令f'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3…．（8分）
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如表

x	0	（0，3）	3	（3，5）	5
f′（x）	0	-	0	+	0
f（x）	0	↘	-9	↗	$\frac{5}{3}$

…（10分）
由上表知：
當x=5時，f（x）有最大值$\frac{5}{3}$；當x=3時，f（x）有最小值-9．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及函數的單調性函數的最值的求法，考查計算能力．