Question

已知：數列{a_n}前n項和為S_n，a_n+S_n=n，數列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）寫出數列{a_n}的前四項；
（2）猜想數列{a_n}的通項公式，并加以證明；
（3）求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）分別令n=1，2，3，4，即可求得數列{a_n}的前四項；
（2）猜想：an=1-

1

2n

，再用數學歸納法證明，當n=k+1時，利用ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)-ak+1-k+ak=-ak+1+1+1-

1

2k

，即可證得；
（3）利用（2）的結論，結合b_n+1=a_n+1-a_n，可求數列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵a_n+S_n=n，∴n=1時，a1=

1

2

n=2時，a₂+S₂=2，∴a2=

3

4

n=3時，a₃+S₃=3，∴a3=

7

8

n=4時，a₄+S₄=4，∴a4=

15

16

；…（2分）
（2）猜想：an=1-

1

2n

，下面用數學歸納法證明：…（3分）
①當n=1時，a1=1-

1

21

=

1

2

，猜想成立；
②假設當n=k時猜想成立，即ak=1-

1

2k

，
則當n=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)-ak+1-k+ak=-ak+1+1+1-

1

2k

，
即2ak+1=2-

1

2k

，∴ak+1=1-

1

2k+1

，即當n=k+1時猜想也成立，
∴由①②知：n∈N^*時an=1-

1

2n

都成立．…（8分）
（3）∵b_n+1=a_n+1-a_n，∴bn=an-an-1=

1

2n

（n≥2），
∵b1=a1=

1

2

，∴bn=

1

2n

（n∈N^*）．…（10分）

點評：本題以數列遞推式為載體，考查數列的通項，考查數學歸納法，利用數學歸納法應注意其兩個步驟及一個結論